Rozpatrzmy układ zawierający w chwili początkowej wiele jąder tego samego rodzaju. Jądra te podlegają rozpadowi promieniotwórczemu ( \( \alpha \) lub \( \beta \)). Chcemy określić liczbę jąder pozostałych po czasie \( t \) od chwili początkowej to jest tych, które nie uległy rozpadowi.

W tym celu oznaczamy przez \( N \) liczbę jąder w materiale, w chwili \( t \). Wtedy \( dN \) jest liczbą jąder, które rozpadają się w czasie \( dt \), tzn. w przedziale \( (t, t + dt) \). Spodziewana liczba rozpadów (liczba jąder, które się rozpadną) w czasie \( dt \) jest dana wyrażeniem

gdzie \( \lambda \) jest stałą rozpadu. Określa ona prawdopodobieństwo rozpadu w jednostce czasu. Stała \( \lambda \) nie zależy od czynników zewnętrznych takich, jak temperatura czy ciśnienie. Znak minus w równaniu ( 1 ) wynika stąd, że \( dN \) jest liczbą ujemną, bo liczba jąder \( N \) maleje z czasem.

Zależność ( 1 ) opisuje doświadczalny fakt, że liczba jąder rozpadających się w jednostce czasu jest proporcjonalna do aktualnej liczby jąder \( N \). Równanie to możemy przekształcić do postaci

a następnie scałkować obustronnie

Skąd

lub

Skąd ostatecznie otrzymujemy wykładnicze prawo rozpadu.

Często wyraża się \( N \) poprzez średni czas życia jąder \( \tau \), który z definicji jest równy odwrotności stałej rozpadu \( \lambda \)

Możemy teraz przepisać prawo rozpadu w postać

Do scharakteryzowania szybkości rozpadu używa się czasu połowicznego rozpadu (zaniku) \( T \). Jest to taki czas, po którym liczba jąder danego rodzaju maleje do połowy to znaczy \( N \) = (½) \( N_{0} \). Podstawiając tę wartość do równania ( 8 ), otrzymujemy

Skąd

i ostatecznie

Czasy połowicznego zaniku pierwiastków leżą w bardzo szerokim przedziale. Przykładowo dla uranu \( ^{238} \)U czas połowicznego zaniku wynosi 4.5·10 \( ^{9} \) lat (jest porównywalny z wiekiem Ziemi), a dla polonu \( ^{212} \)Po jest rzędu 10 \( ^{-6} \)s.